史继光（1980－）
男，厦门大学硕士生，（厦门大学自动化系, 福建  厦门  361005）
，研究领域为网络控制系统。

基金项目：福建省自然科学基金(A0510002)；厦门大学985二期信息创新平台项目资助

摘要：NBFIs（Network-based Feedback Interconnections）是一类基于网络反馈连接的系统，本文研究了此模型的数据包丢失的问题，将带有有界任意丢包问题的NBFI系统建模成一般的线性切换系统，并应用切换lyapunov函数方法加以分析，进而给出了NBFI系统渐近稳定的充分条件，最后给出仿真，从而验证了结论的正确性。

关键词：基于网络的反馈连接；网络控制系统；数据丢包；稳定

Abstract: NBFI(Network-based Feedback Interconnection) is a new kind of network-based feedback interconnection. The problem of packet losses of NBFI is studied in this paper. We model the NBFI with bounded packet losses as a traditional switching system. By using the switching Lyapunov approach, some sufficient conditions of the asymptotical stability for NBFI are obtained. Finally, a simulation example is given to illustrate the effectiveness of the results.

Key words: Network-based Feedback Interconnections；Networked Control Systems；Packet losses；Stability

1 引言

    通过实时网络形成的闭环反馈控制系统称为网络控制系统（Networked Control Systems ,NCSs）（如图1）[1][2]。 它的主要特点是系统的各个器件（传感器、控制器、执行器等）通过实时网络来进行数据信息的交换。 网络控制系统相对于传统的控制系统，具有轻便，易操作、维修，有较高的灵活性、可靠性等优点。因此，网络控制系统在航空航天、制造、交通等领域有广泛的应用。然而，由于网络的引入，也为控制系统带来了新的问题：由于资源竞争和网络拥塞引起的网络延迟；由于网络拥塞和数据破坏导致了数据包丢失；受网络带宽的限制，在网络控制中还存在着单包传输和多包传输等问题。

    数据包丢失是网络控制系统研究中的一个重要问题。目前，关于数据包丢失的问题，国内外很多学者进行了研究，也得出了很多的研究成果。 文[1][3][4]把带有数据包丢失的NCS系统建模为具有事件率约束的异步动态系统，并研究了此异步动态系统的稳定性；文[2][5][6]引入了最大允许传输间隔（MATI）的概念，当两次成功的传输（从传感器到控制器，或控制器到执行器）的间隔小于最大允许间隔（MATI）时系统仍然稳定；文[7][8][9][10]用迭代的方法将带有数据包丢失问题的网络控制系统建模成切换系统，进而对这个切换系统进行研究。例如：文[8]利用共同lyapunov函数的方法，得到了系统稳定的充分条件；文[10]则进一步降低了保守性，用切换lyapunov函数的方法，得出系统的稳定条件。 有时，我们所研究的NCS系统带有不确定参数[11][12][13]。 文[13]针对不确定NCS系统，设计出鲁棒Hw反馈控制器解决网络丢包问题。 有时，网络延迟和网络丢包是被同时考虑的[7][10][13]。文[10]用lyapunov函数的方法，推出系统带有延迟和丢包时的稳定条件。

    但是，前面提到的文献研究的对象都是一般的网络控制系统，文[14]提出了一种新型的反馈连接的系统（如图2），它将传统的反馈连接通过网络来实现。 因此也可将其看作是基于网络的反馈连接（Network_based Feedback Interconnection,NBFI）。 同时它也可看作是NCS的扩展，NCS是通过网络使被控对象和控制器相连接，形成一个闭环反馈环路，而NBFI系统是两个被控对象通过网络连接形成的闭环系统。因为网络的存在，NBFI系统也存在时延和丢包的问题。 文[14]利用耗散性理论研究了NBFI系统的丢包问题，并提出了一种新的通信策略以解决两个网络同步传输的问题。

    本文将在文[14]的模型的基础上，用迭代的方法把带有有界任意丢包问题的NBFI系统建模成一般的线性切换系统，在此基础上，我们将采用切换lyapunov函数方法，对该切换系统进行分析，进而得到系统NBFI（2.3）渐近稳定的充分条件，使得NBFI系统在满足小于最大丢包上界的条件时，渐近稳定。

    本文的结构如下：第二部分，我们将描述NBFI系统的数学模型，并给出一些定义；第三部分，我们将分析系统的稳定性；第四部分，我们给出仿真结果；第五部分是结论。

    下面，我们先给出文中要用到的一些记号。

    NW：代表网络

    Sam：代表采样器

    Z：整数集

    Z+：非负整数集

    ‖●‖：欧氏范数

    In：n×n维的单位矩阵

图1  一般的网络控制系统



图2  基于网络的反馈连接的系统

2 系统分析与建模

    考虑如图2所示的系统，它是由两个离散的线性时不变系统通过网络1和网络2所组成的，基于网络的输出反馈连接的系统。

       （2.1a）

       （2.1b）

       （2.1c）

    其中，是时序，是系统状态， ,   ,  分别是系统（2.1a）和系统（2.1b）的输入和输出。Ai，Bi，Ci是具有适当维数的常数矩阵。

    在仅考虑数据包丢失的情况下，我们作如下假设：

    （1）采样器和执行器通过网络相连接

    （2）采样器是时钟驱动，执行器是事件驱动

    （3）数据是单包传输

    （4）采样周期是1

    （5）网络1和网络2同步

    注1：假设1~4是分析NCSs时，常用的假定[8][10][14]。假设5，虽然条件有点强，但可以简化对NBFIs的分析和建模。

    下面，我们引入一些概念。

    定义序列   

    其中，ik指的是数据成功传输的时刻，是的一个子序列。

    定义1：数据丢包过程定义为

        （2.2）
    其中，。

    定义2：当在中的取值是任意的，则称数据包的丢失是任意的。

    当系统（2.1a）的输出信号从采样器通过网络传到执行器端时，就变成；类似地，系统(2.1b)的输出信号就变成。

    因此，图2的数学模型由下式给出：

       （2.3a）

         （2.3b）

         （2.3c）

    系统初始输入设为0，即：。

    本文的主要目标就是寻找适合的条件以保证系统NBFI(2.3)的稳定性，为此，我们引入系统NBFI(2.3)渐近稳定的定义。

    定义3：令为系统NBFI（2.3）的轨迹（x₀为初始状态），若对任意的，存在一个, 当时，有 ,成立，则称系统NBFI（2.3）是稳定的；进一步得，若对任意的有成立，则称系统NBFI（2.3）是渐近稳定的。

3 主要结果

    本节，我们将带有有界任意丢包问题的系统NBFI(2.3)建模成一般的线性切换系统，然后用切换lyapunov函数方法对该切换系统进行分析，进而得出系统NBFI（2.3）在有界任意丢包时，渐近稳定的充分条件。

    令

    通过迭代运算，与文[8]类似，我们得到

             (3.1)

    其中

    系统(3.1)初始状态为

    因为最大丢包上界是s，所以

   

    其中

    这表明系统(3.1)实际上是一个由如下的s个子系统所组成的线性切换系统，其切换率由丢包过程决定。

      (3.2)

    定理1：如果存在实正定矩阵使得下面的矩阵不等式对所有成立

        (3.3)

    则系统NBFI（2.3）是渐近稳定的。

    证明： 首先，我们证明系统NBFI(2.3)的渐近性。

    构造如下依赖于数据丢包的Lyapunov函数。

   

    其中

    令

    我们有

    由Schur引理，可知

   

    因此，对任何

    有（3.7）

    由此可知

    现在我们考虑系统状态

   

    其中

    对任意的，与(3.4）类似

    我们有

      (3.5)

    前面我们已推知
    因此

    所以

    这表明序列收敛于0。

    为了证明系统NBFI(2.3)的稳定性

    我们令 

   

   
    其中
    下面，我们将证明：对于任意的若则

    （1）当时 

    由于初始输入为0

    我们有

    因此

    （2）当时

    由（3.4）和（3.5）知
    所以

    由lyapunov函数的定义，我们有

    所以

    因此，我们可以得出结论：对任意的存在一个，当时，成立。

    根据定义3可知系统NBFI(2.3)是渐近稳定的。

    注2：文[14]利用耗散理论得到系统（3.2）的各个子系统渐近稳定的条件，进而推出系统NBFI(2.3)渐近稳定的充分条件；而本文用切换lyapunov函数的方法，给出了系统NBFI(2.3)渐近稳定的条件。 结果以LMI的形式给出，易于检验。

4 仿真

    考虑具有如下参数的系统NBFI（2.3）

   

    其初始状态为

   

    情形1：没有发生数据包丢失的情况时，系统NBFI（2.3）的状态响应如图3所示。

图3  没有丢包时，NBFI（2.3）的状态响应曲线

    令最大丢包上界s=5，即最多有80%的数据包丢失。 根据定理1，我们可求得如下的一组，满足LMI（3.6）的可行解。

图4  随机产生的丢包过程

图5  发生丢包时， NBFI（2.3）的状态响应曲线

    注4： 从图4中，我们可以看出发生了12次数据包丢失， 即有60%的数据包丢失了。 而由图5可知，此时系统仍然是渐近稳定的。

5 结论

    本文研究了一类基于网络反馈连接的系统（NBFI），并在此模型的基础上，研究了有界任意丢包问题。 我们通过迭代的方法，将NBFI系统建模成线性切换系统，应用切换lyapunov函数方法对该切换系统进行分析，以LMI的形式给出了NBFI系统渐近稳定的充分条件。 最后的仿真结果，验证了结论的正确性。 对于这种新的模型，本文仅考虑了数据丢包时的情况，对于时间延迟，多包传输等情况，并没用考虑。 我们将在今后，对这一新模型进行深入的研究。

其它作者： 

    孙洪飞（1970-），男，厦门大学副教授，研究领域为复杂网络，网络控制系统及切换系统。

参考文献

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    [2] G. C. Walsh, H. Ye, and L. Bushnell, “Stability Analysis of Networked Control Systems,” Proceedings of American Control Conference, pp. 2876-2880, 1999. 

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    [5] G. C. Walsh, O. Beldiman, and L. Bushnell, “Asymptotic behavior of networked control systems,” Proceedings of the International Conference on Control Applications, pp. 1448-1453, 1999. 

    [6] O. Beldiman, G. C. Walsh, and L. Bushnell, “Predictors for Networked Control Systems,” Proceedings of American Control Conference, pp. 2347-2351, 2000. 

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    [8] M. Yu, L. Wang, T. G. Chu, and G. M. Xie, “Stabilization of networked control systems with data packet dropout and network delays via switching system approach,” Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control, Bahamas, pp. 3539-3544, 2004.

    [9] D. Ma, and J. Zhao, “Stabilization of Networked Control Systems via Switching Controllers: an Average Dwell Time Approach,” The 6th World Congress on Intelligent Control and Automation, pp. 4619-4622, 2006.

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    [11] H. Lin, G. S. Zhai, and P. J. Antsaklis, “Robust stability and disturbance attenuation analysis of a class of networked control systems,” Proceedings of th 42th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 1182-1187, 2003.

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    [14] H. F. Sun, and D. J. Hill, “Stability of network-based feedback interconnection,” Sbumitted to Automatica, 2007.