廖勇（1982—）
男，江西抚州人，硕士研究生，主要研究方向为广义系统的鲁棒控制。

摘要:首先利用线性矩阵不等式（LMI）方法，给出线性广义时滞系统稳定的一个充分条件；然后讨论广义时滞系统的H_∞状态反馈控制，给出控制器存在的充分条件，同时给出控制器的设计，控制器可由矩阵不等式解得。

关键词：广义时滞系统；线性矩阵不等式；H_∞控制

Abstract: Using the method of linear matrix inequality (LMI),H_∞ state feedback control problem for linear singular systems with time-delay in state is discussed. A sufficient condition which guarantees the asymptotical stability of the closed-loop system is given. Furthermore, one sufficient condition for the existence of an H∞ state feedback controller is shown. The controller can be obtained via solving matrix inequality.

Key words:Singular time-delay system; LMI; H_∞ control

    为适应近代科学技术的发展以及大型工程技术的需要，人们提出了非传统数学模型描述的广义系统。信息传递等因素致使系统普遍存在滞后现象[1,2]，因而人们又提出滞后广义系统[3,4]。滞后广义系统的结构相当复杂[4]，既不同于无滞后的广义系统，又不同于通常的滞后系统。

    H_∞控制理论是鲁棒理论的一个重要分支，近年来随着无滞后线性系统H_∞理论的日趋成熟和完善，滞后线性系统的H∞理论也得到了相应的发展[5,6]。但由于广义滞后系统结构的复杂性，致使对滞后广义系统的H∞控制问题的研究仍处于初级阶段[4]。本文利用线性矩阵不等式方法，讨论一般的广义时滞系统H∞控制问题，给出了问题可解的一个充分条件以及控制器设计。

1 问题描述与预备知识

    考虑如下线性广义时滞系统
               
                （1）

    其中：为系统的状态变量，为控制输入，为干扰输入，为控制输出，为滞后常数，为任一连续的满足相容性条件的初始函数，各系数矩阵为适维常阵。特别地，。不失一般性，假设，B_l和D_l都为零矩阵，否则可通过状态扩维方式将系统（1）转化为

   

    本文的目的是设计无记忆的状态反馈

                  （2）

    其中为常阵，使得系统（1）与反馈控制器（2）构成的闭环系统
    
             (3)
             
    满足如下条件：1）内稳定；2），其中：表示从干扰输入W(t)到被控输出Z(t)的传递函数，为给定常数。

    设有滞后广义系统
　　　
                       （4）

    其中：为n×n奇异常数矩阵，

且连续，

    方程（4）的初始条件为

          （5）

    在给出稳定性概念之前，还需引用如下记号：

    1） 区间T_k=[0,t_k)，其中；

    2） m维连续可微向量函数q(t,x)在上有定义；

    3） s_k(t₀,t_k)为使得方程（4）至少在[t₀,t_k)上有连续解的所有相容初始函数的全体；

    4）。

    定义1[7]若，总存在，使得，方程（4）通过初始条件的解满足和，则方程（4）的零解关于稳定。

    特别地，若仅与有关，而与t₀无关，则方程（4）的零解关于{q(t,x),T_k}一致稳定。

    定义2^[7]若方程（4）的零解关于是稳定的，且，有则称方程（4）的零解关于渐近稳定。

    引理1^[8]给定矩阵 ,若,且, 则可 行 当 且 仅 当,  若（6）可 行，   记则（6）的所有可行解为其中,满足,,其中，,的一个满秩分解。

    引理2^[9]若存在矩阵和正定阵满足
    
        （7）

    则系统（3）零解渐近稳定。

    引理 3[9] 若存在矩阵和正定阵满足
    
                           （8）

    则闭环系统（3）内稳定且。

    引理4^[9]若存在矩阵,和正定矩阵满足如下LMI不等式
       （9）

    其中，则系统（1）的H_∞控制问题有解，即系统（3）内稳定，且满足H_∞范数界。此时控制器，其中。

2 主要结果

    定理1  若存在矩阵和正定阵满足

   

    则系统（3）零解渐近稳定。

    其中，。

    证明 引理2中（7）的第二个不等式等价于下式

   

    则将引理1的结果应用于引理2即可得定理1。

    下面给出系统（3）内稳定且满足H_∞范数界，即的一个充分条件。

    定理2  若存在矩阵和正定阵满足

    

    则闭环系统（3）内稳定且。

    其中，,而且所有的矩阵P满足以下两式：
              （10）

      （11）

    其中，，满足, ，其中,,是的一个满秩分解。

    证明  ，因为正定，所以，则。将引理1中的结果应用到引理3即可证明定理2（证明略）。

    定理3 若存在矩阵,和正定矩阵满足如下矩阵不等式

                       （12） 

    其中，,则系统（1）的H∞控制问题有解，即系统（3）内稳定，且满足H_∞范数界。 

    证明   使用两次Schur补引理可将（8）式简化成下列不等式

    (Q+C^TC)+(A+BK)+(A+BK)^T+<0

    将引理1的结果应用到引理4即可得定理3。

参考文献：

    [1]Hale J K. Theory of Functional Differential Equations[M].New York:Springer Verlag,1977.

    [2]刘永清，唐功友.大型动力系统的理论与应用——卷三：滞后、稳定与控制[M].广州：华南理工大学出版社，1992.

    [3]Campbell S L. Singular Systems of Differential Equation[M].San Francisco:
Pitman,1980.

    [4]刘永清，谢湘生.大型动力系统的理论与应用——卷八：滞后广义系统的稳定，镇定与控制[M].广州：华南理工大学出版社，1998.

    [5]Wen T, Yaling C. H∞-optimal control for descriptor systems[A]. Proc of 12th IFAC World Congress[C].Sydney,1993.2:201-204.

    [6]Masubuchi I,Kamitane Y,Ohara A,et al. H∞ control for descriptor systems:A matrix inequalities approach[J].Automatica,1997,33(1):669-673.

    [7]刘永清，王伟，李远清.大型动力系统的理论与应用——卷七：滞后广义系统解的基本理论与应用[M].广州：华南理工大学出版社，1997.

    [8]曾建平，张怡，车玲.一类线性矩阵不等式可行解集的构造.Proceedings of the 24th Chinese Control Conference[C].Guangzhou,P.R.China,2005.7:538-540.

    [9]冯俊娥，程兆林.线性广义时滞系统的H∞状态反馈控制器[J].控制与决策,2003,18(2):159-163.

    （厦门大学自动化系，福建  厦门  361005）  廖   勇，曾建平